Qual è l'equazione in forma standard della parabola con un focus su (42, -31) e una direttrice di y = 2?

Risposta:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # modulo standard

Spiegazione:

Si prega di osservare che la direttrice è una linea orizzontale

#y = 2 #

Pertanto, la parabola è il tipo che si apre verso l'alto o verso il basso; la forma del vertice dell'equazione per questo tipo è:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

Dove #(HK)# è il vertice e # F # è la distanza verticale firmata dal vertice al fuoco.

La coordinata x del vertice è la stessa della coordinata x del focus:

#h = 42 #

Sostituto #42# per # H # in equazione 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

La coordinata y del vertice è a metà strada tra la direttrice e il focus:

#k = (y_ "directrix" + y_ "focus") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Sostituto #-29/2# per #K# in equazione 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

L'equazione per trovare il valore di # F # è:

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Sostituto #-33/2# per # F # in equazione 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Semplifica la frazione:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Espandi il quadrato:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Distribuisci la frazione:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

Combina termini simili:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # modulo standard

Risposta:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Spiegazione:

Lo risolveremo Problema usando il seguente FOCUS-Direttrice

Proprietà (FDP) del Parabola.

FDP: Qualsiasi punto su a Parabola è equidistante dal

Messa a fuoco e il Direttrice.

Lasciamo, il punto # F = F (42, -31), "e, la riga" d: y-2 = 0, # essere

il Messa a fuoco e il direttrice del Parabola, dite S.

Permettere, # P = P (x, y) in S, # essere qualsiasi Punto generale.

Quindi, usando il Formula a distanza, abbiamo, la distanza,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

Sapendo che il # Bottiglie aperte #dist. tra un punto # (K, k), # e una linea:

# Ax + by + c = 0, # è, # | Ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # lo troviamo, # "il" bot- "dist. btwn" P (x, y), &, d "è," | y-2 | ………….. (2). #

Di FDP, # (1) e (2), # noi abbiamo, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 |, o, #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, cioè, #

# X ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # quale, nel Modulo standard, si legge, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

come Rispetto Douglas K. Signore ha già derivato!

Goditi la matematica!