Dimostrare che la P (A) (Power Set) è più grande di A?

Dimostrare che la P (A) (Power Set) è più grande di A?
Anonim

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Il solito metodo è quello di mostrare che una funzione #f: ArarrP (A) # non può essere su (suriettiva). (Quindi non può essere biettivo.)

Per qualsiasi funzione #f: ArarrP (A) #, c'è un sottoinsieme di #UN# definito da

#R = x in A #

Ora lo dimostriamo # R # non è nell'immagine di #UN#.

Se #r in A # con #f (r) = R #, poi #color (rosso) (r in R "e" r! in R # che non è possibile, quindi non c'è #r in A # con #f (r) = R #.

conseguentemente # F # non è su (suriettiva).

Vedere #color (rosso) (r in R "e" r! in R #, notare che

#r in R rArr r in f (r) rArr r! in R # così #r in R rArr (r in R "e r! in R) #

e

#r! in R rArr r! in f (r) rArr r in R # così #r! in R rArr (r! in R "e r in R) #

Concludiamo che non c'è #r in A # con #f (r) = R #.

Usando un argomento simile potremmo invece mostrare che una funzione #f: P (A) rarrA # non può essere uno-a-uno (iniettivo). (Quindi non può essere biettivo.)