Per quali valori di x è f (x) = x-x ^ 2e ^ -x concava o convessa?

Risposta:

Trova la derivata seconda e controlla il suo segno. È convesso se è positivo e concava se è negativo.

Concavo per:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Convesso per:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Spiegazione:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Prima derivata:

#f '(x) = 1- (2XE ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Prendere # E ^ -x # come un fattore comune per semplificare la derivata successiva:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Seconda derivata:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Ora dobbiamo studiare il segno. Possiamo cambiare il segno per risolvere facilmente il quadratico:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Per rendere la quadratica un prodotto:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Perciò:

#f '' (x) = - e ^ -x * (X- (2-sqrt (2))) * (X- (2 + sqrt (2))) #

• Un valore di #X# tra queste due soluzioni dà un segno quadratico negativo, mentre qualsiasi altro valore di #X# lo rende positivo.
• Qualsiasi valore di #X# fa # E ^ -x # positivo.
• Il segno negativo all'inizio della funzione inverte tutti i segni.

Perciò, #f '' (x) # è:

Positivo, quindi concavo per:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negativo, quindi convesso per:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #