Qual è l'equazione della linea tangente di f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 in x = 5?

L'equazione della linea tangente è della forma:

# Y = colore (arancione) (a) x + colore (viola) (b) #

dove #un# è la pendenza di questa linea retta.

Per trovare la pendenza di questa linea tangente a #f (x) # al punto # X = 5 # dovremmo differenziare #f (x) #

#f (x) # è una funzione quoziente del modulo # (U (x)) / (v (x)) #

dove #U (x) = x-3 # e #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (blu) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#U '(x) = x', 3' #

#color (rosso) (u '(x) = 1) #

#v (x) # è una funzione composita quindi dobbiamo applicare la regola della catena

permettere #G (x) = x ^ 2 # e #H (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (rosso) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#G '(x) = 2x # poi

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (rosso) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#color (rosso) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (blu) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

semplificando il fattore comune # x-4 # tra numeratore e denominatore

#color (blu) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Perché la linea tangente passa attraverso il punto # X = 5 # così possiamo trovare il valore della pendenza #un# sostituendo # X = 5 # nel # f '(x) #

#color (arancione) (a = f '(5)) #

#A = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# A = -3/1 ^ 3 #

#color (arancione) (a = -3) #

Data l'ascissa del punto di tangenza #color (marrone) (x = 5) # lascia

lascia trovare la sua ordinata # Y = f (5) #

#color (marrone) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# Y = 2/1 #

#color (marrone) (y = 2) #

Avere le coordinate del punto di tangenza #color (marrone) ((5; 2)) # e la pendenza #color (arancione) (a = -3) # cerchiamo #color (viola) (b) #

consente di sostituire tutti i valori noti nell'equazione della linea tangente per trovare il valore #color (viola) (b) #

#color (marrone) (y) = colore (arancione) (a) a colori (marrone) (x) + colore (viola) (b) #

# 2 = -3 (5) + colore (viola) (b) #

# 2 = -15 + colore (viola (b) #

# 17 = colore (viola) (b) #

quindi, l'equazione della linea tangente al punto #color (marrone) ((5; 2)) # è:

# Y = -3x + 17 #