Come risolvete 1 = lettino ^ 2 x + csc x?

Risposta:

#x = (- 1) ^ k (pi / 6) + KPI #

per #k in ZZ #

Spiegazione:

# Culla ^ 2x + CSCX = 1 #

Usa l'identità: # Cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

# => Culla ^ 2x + 1 = csc ^ 2x #

# => Culla ^ 2x = csc ^ 2x-1 #

Sostituiscilo nell'equazione originale, # Csc ^ 2x-1 + CSCX = 1 #

# => CSC ^ 2x + CSCX-2 = 0 #

Questa è una equazione quadratica nella variabile # # CSCX Quindi puoi applicare la formula quadratica, #csx = (- 1 + -sqrt (1 + 8)) / 2 #

# => CSCX = (- 1 + -3) / 2 #

Astuccio #(1):#

#cscx = (- 1 + 3) / 2 = 1 #

Ricorda che: # CSCX = 1 / sinx #

# => 1 / sin (x) = 1 => sin (x) = 1 => x = pi / 2 #

Soluzione generale (1): #x = (- 1) ^ n (pi / 2) + NPI #

Dobbiamo rifiutare (trascurare) questi valori perché il #culla# la funzione non è definita per multipli di # Pi / 2 # !

Astuccio #(2):#

#cscx = (- 1-3) / 2 = -2 #

# => 1 / sin (x) = - 2 => sin (x) = - 1/2 => x = -pi / 6 #

Soluzione generale (2): #x = (- 1) ^ k (pi / 6) + KPI #

Risposta:

Solve cot ^ 2 x + csc x = 1

Ans: # (PI) / 2; (7pi) / 6 e (11pi) / 6 #

Spiegazione:

# cos ^ 2 x / sin ^ 2 x + 1 / sin x = 1 #

# cos ^ 2 x + sin x = sin ^ 2 x #

# (1 - sin ^ 2 x) + sin x = sin ^ 2 x #

# 2sin ^ 2 x - sin x - 1 = 0 -> 2t ^ 2 - t - 1 = 0 # - Chiama sin x = t

Poiché a + b + c = 0, usa scorciatoia: 2 radici reali sono:

t = 1 e #t = -1 / 2 #

un. t = sin x = 1 -> #x = pi / 2 #

b. #sin x = - 1/2 # --> #x = (7pi) / 6 # e #x = (11pi) / 6 #