Senza l'uso della funzione di risoluzione di una calcolatrice come risolvo l'equazione: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Risposta:

Gli zeri sono # X = 5 #, # x = -2 #, # X = 1 + -sqrt (2) i #

Spiegazione:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Ci è stato detto # (X-5) # è un fattore, quindi separalo:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Ci è stato detto # (X + 2) # è anche un fattore, quindi separalo:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Il discriminante del restante fattore quadratico è negativo, ma possiamo ancora usare la formula quadratica per trovare le radici complesse:

# X ^ 2-2x + 3 # è nella forma # Ax ^ 2 + bx + c # con # A = 1 #, # B = -2 # e # C = 3 #.

Le radici sono date dalla formula quadratica:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Proviamo senza saperlo # (X-5) # e # (X + 2) # sono fattori.

Il termine costante è uguale al prodotto delle radici, quindi

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Questo coefficiente è un valore intero i cui fattori sono #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Provando questi valori possiamo vederlo

#p (-2) = p (5) = 0 # ottenendo due radici.

Possiamo rappresentare il polinomio come

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Calcolando il lato destro e confrontando entrambi i lati otteniamo

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10A-3b #

# -30 = -10b #

Risolvere per # (A, b) # noi abbiamo # A = -2, b = 3 #

Valutare le radici di # X ^ 2-2x + 3 = 0 # noi abbiamo # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #