Come integrare int e ^ x sinx cosx dx?

Risposta:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Spiegazione:

Per prima cosa possiamo usare l'identità:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

che dà:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Ora possiamo usare l'integrazione per parti. La formula è:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

lascerò #f (x) = sin (2x) # e #G '(x) = e ^ x / 2 #. Applicando la formula, otteniamo:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Ora possiamo applicare ancora una volta l'integrazione per parti, questa volta con #f (x) = cos (2x) # e #G '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Ora abbiamo l'integrale su entrambi i lati dell'uguaglianza, quindi possiamo risolverlo come un'equazione. Innanzitutto, aggiungiamo 2 volte l'integrale a entrambi i lati:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Poiché volevamo una metà come coefficiente sull'integrale originale, dividiamo entrambi i lati #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = E ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Risposta:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Spiegazione:

Noi cerchiamo:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Che usando l'identità:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Possiamo scrivere come:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Dove per comodità denotiamo:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, e # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Ora eseguiamo l'integrazione per parti ancora una volta.

Permettere # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Quindi inserendo la formula IBP otteniamo:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Ora, abbiamo due equazioni simultanee in due incognite #È#. e #CIRCUITO INTEGRATO#, sostituendo così B in A abbiamo:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Che porta a:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #