La signora Fox ha chiesto alla sua classe la somma di 4,2 e radice quadrata di 2 razionale o irrazionale? Patrick ha risposto che la somma sarebbe stata irrazionale. Indicare se Patrick è corretto o errato. Giustifica il tuo ragionamento.

Risposta:

La somma # 4.2 + sqrt2 # è irrazionale; eredita la proprietà di espansione decimale mai ripetuta di #sqrt 2 #.

Spiegazione:

Un numero irrazionale è un numero che non può essere espresso come un rapporto di due numeri interi. Se un numero è irrazionale, la sua espansione decimale continua all'infinito senza uno schema e viceversa.

Lo sappiamo già #sqrt 2 # è irrazionale. La sua espansione decimale inizia:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Il numero #4.2# è razionale; può essere espresso come #42/10.# Quando aggiungiamo 4,2 all'espansione decimale di #sqrt 2 #, noi abbiamo:

#sqrt 2 + 4.2 = colore (bianco) + 1.414213562373095 … #

#colore (bianco) (sqrt 2) colore (bianco) + colore (bianco) (4.2 =) + 4.2 #

#colore (bianco) (sqrt 2) colore (bianco) + colore (bianco) (4.2 =) bar (colore (bianco) (+) 5.614213562373095 …) #

Si vede facilmente che anche questa somma non termina né ha uno schema ripetitivo, quindi è anche irrazionale.

In generale, la somma di un numero razionale e di un numero irrazionale sarà sempre irrazionale; l'argomento è simile a sopra.

Risposta:

#color (blu) ("corretto") #

Spiegazione:

Se iniziamo col dire che la somma è razionale: tutti i numeri razionali possono essere scritti come il quoziente di due interi # A / bcolor (bianco) (88) # #B! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 in classifica

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Il prodotto di due interi è un numero intero:

La differenza tra due numeri interi è un numero intero:

Così:

# 5a-21b # è un numero intero

# 5b # è un numero intero

Quindi:

# (5a-21b) / (5b) # è razionale.

Ma lo sappiamo #sqrt (2) # è irrazionale, quindi questa è una contraddizione dalla nostra ipotesi che la somma fosse razionale, quindi la somma di un numero irrazionale e di un numero razionale è sempre irrazionale.