Come si dimostra che la derivata di una funzione dispari è pari?

Per una determinata funzione # F #, la sua derivata è data da

#G (x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #

Ora dobbiamo dimostrarlo, se #f (x) # è una strana funzione (in altre parole, # -F (x) = f (-x) # per tutti #X#) poi #G (x) # è una funzione uniforme (#G (-x) = g (x) #).

Con questo in mente, vediamo cosa #G (-x) # è:

#G (-x) = lim_ (h-> 0) (f (-x + h) -f (-x)) / h #

Da #f (-x) = - f (x) #, quanto sopra è uguale a

#G (-x) = lim_ (h-> 0) (- f (x-h) + f (x)) / h #

Definire una nuova variabile # K = -h #. Come # H-> 0 #, così fa # K-> 0 #. Pertanto, quanto sopra diventa

#G (-x) = lim_ (K> 0) (f (x + k) -f (k)) / k = g (x) #

Pertanto, se #f (x) # è una funzione dispari, la sua derivata #G (x) # sarà una funzione uniforme.

# "Q.E.D." #

FCF (Frazione continua funzionale) cosh_ (cf) (x; a) = cosh (x + a / cosh (x + a / cosh (x + ...))). Come si dimostra che questo FCF è una funzione pari rispetto sia a x che a, insieme? E cosh_ (cf) (x; a) e cosh_ (cf) (-x; a) sono diversi?

Cosh_ (cf) (x; a) = cosh_ (cf) (- x; a) e cosh_ (cf) (x; -a) = cosh_ (cf) (- x; -a). Siccome i valori di cosh sono> = 1, qualsiasi y qui> = 1 Mostriamo che y = cosh (x + 1 / y) = cosh (-x + 1 / y) I grafici sono fatti assegnando a = + -1. Le corrispondenti due strutture di FCF sono diverse. Grafico per y = cosh (x + 1 / y). Osserva che a = 1, x> = - 1 grafico {x-ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0.5) + 1 / y = 0} Grafico per y = cosh (-x + 1 / y). Osserva che a = 1, x <= 1 grafico {x + ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0.5) -1 / y = 0} Grafico combinato per y = cosh (x + 1 / y) ey = cosh (-x + 1 / y): graph {(x-ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0.5) +

Sia f (x) la funzione f (x) = 5 ^ x - 5 ^ {- x}. F (x) è pari, dispari o nessuno dei due? Dimostra il tuo risultato.

La funzione è dispari. Se una funzione è pari, soddisfa la condizione: f (-x) = f (x) Se una funzione è dispari, soddisfa la condizione: f (-x) = - f (x) Nel nostro caso, vediamo che f (-x) = 5 ^ -x-5 ^ x = - (5 ^ x-5 ^ -x) = - f (x) Poiché f (-x) = - f (x), la funzione è dispari.

Sia f (x) = x-1. 1) Verifica che f (x) non sia né pari né dispari. 2) Can f (x) può essere scritto come somma di una funzione pari e di una funzione dispari? a) Se è così, mostra una soluzione. Ci sono più soluzioni? b) In caso contrario, dimostrare che è impossibile.

Sia f (x) = | x -1 |. Se f fosse pari, allora f (-x) sarebbe uguale a f (x) per tutti x. Se f fosse dispari, allora f (-x) sarebbe uguale a -f (x) per tutti x. Osservare che per x = 1 f (1) = | 0 | = 0 f (-1) = | -2 | = 2 Poiché 0 non è uguale a 2 o a -2, f non è né pari né dispari. Potrebbe essere scritto come g (x) + h (x), dove g è pari eh è dispari? Se fosse vero allora g (x) + h (x) = | x - 1 |. Chiama questa affermazione 1. Sostituisci x di -x. g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | Poiché g è pari ed è dispari, abbiamo: g (x) - h (x) = | -x - 1 | Chiama questa affermazione 2.