L'inquinamento in atmosfera normale è inferiore allo 0,01%. A causa della perdita di un gas da una fabbrica, l'inquinamento è aumentato al 20%. Se ogni giorno l'80% dell'inquinamento viene neutralizzato, in quanti giorni l'atmosfera sarà normale (log_2 = 0.3010)?

Risposta:

#ln (0,0005) / ln (0,2) ~ = 4.72 # giorni

Spiegazione:

La percentuale di inquinamento è a #20%#e vogliamo capire quanto tempo ci vuole per farlo #0.01%# se l'inquinamento diminuisce di #80%# ogni giorno.

Ciò significa che ogni giorno moltiplichiamo la percentuale di inquinamento di #0.2# (#100%-80%=20%)#. Se lo facciamo per due giorni, sarebbe la percentuale moltiplicata per #0.2#, moltiplicato per #0.2# di nuovo, che è lo stesso di moltiplicare per #0.2^2#. Possiamo dire che se lo facciamo per # N # giorni, vorremmo moltiplicare per # 0.2 ^ n #.

#0.2# è la quantità originale di inquinamento, e #0.0001# (#0.01%# in decimale) è l'importo che vogliamo raggiungere. Ci stiamo chiedendo quante volte dobbiamo moltiplicare per #0.2# per arrivarci Possiamo esprimere questo nella seguente equazione:

# 0.2 * 0.2 ^ n = 0,0001 #

Per risolverlo, prima divideremo entrambi i lati #0.2#:

# (Cancel0.2 * 0.2 ^ n) /cancel0.2=0.0001/0.2#

# 0.2 ^ n = 0,0001 / 0,0005 = 0,2 #

Ora possiamo prendere un logaritmo su entrambi i lati. Il logaritmo che usiamo non ha molta importanza, siamo solo dopo le proprietà del logaritmo. Vado a scegliere il logaritmo naturale, poiché è presente sulla maggior parte dei calcolatori.

#ln (0,2 ^ n) = ln (0,0005) #

Da #log_x (a ^ b) = blog_x (a) # possiamo riscrivere l'equazione:

#nln (0,2) = ln (0,0005) #

Se dividiamo entrambi i lati, otteniamo:

# N = ln (0,0005) / ln (0,2) ~ = 4.72 #