Come trovi l'espansione binomiale per (2x + 3) ^ 3?

Risposta:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Spiegazione:

Con il triangolo di Pascal, è facile trovare ogni espansione binomiale:

Ogni termine, di questo triangolo, è il risultato della somma di due termini sulla linea superiore. (esempio in rosso)

#1#

#1. 1#

#color (blu) (1. 2. 1) #

# 1. colore (rosso) 3. colore (rosso) 3. 1 #

# 1. 4. colore (rosso) 6. 4. 1 #

…

Inoltre, ogni riga ha l'informazione di un'espansione binomiale:

La prima linea, per il potere #0#

Il 2 °, per il potere #1#

Il 3 °, per il potere #2#…

Per esempio: # (A + b) ^ 2 # useremo la 3a riga in blu seguendo questa espansione:

# (a + b) ^ 2 = colore (blu) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + colore (blu) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + colore (blu) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Poi: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Al potere #3#:

# (a + b) ^ 3 = colore (verde) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + colore (verde) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + colore (verde) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + colore (verde) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Poi # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Quindi qui abbiamo #color (rosso) (a = 2x) # e #color (blu) (b = 3) #:

E # (2x + 3) ^ 3 = colore (rosso) ((2x)) ^ 3 + 3 * colore (rosso) ((2x)) ^ 2 * colore (blu) 3 + 3 * colore (rosso) ((2x)) * colore (blu) 3 ^ 2 + colore (blu) 3 ^ 3 #

Perciò: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Risposta:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Spiegazione:

# (2x + 3) ^ 3 #

Usa il cubo di un metodo di somma, in cui # (A + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

# A = 2x; # # B = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 * 2x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #