Marte ha una temperatura superficiale media di circa 200K. Plutone ha una temperatura superficiale media di circa 40K. Quale pianeta emette più energia per metro quadro di superficie al secondo? Di un fattore di quanto?

Risposta:

Marte emette #625# aumenta la quantità di energia per unità di superficie rispetto a Plutone.

Spiegazione:

È ovvio che un oggetto più caldo emetterà più radiazioni del corpo nero. Quindi, sappiamo già che Marte emetterà più energia di Plutone. L'unica domanda è di quanto.

Questo problema richiede la valutazione dell'energia delle radiazioni del corpo nero emesse da entrambi i pianeti. Questa energia è descritta come una funzione della temperatura e della frequenza emessa:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

L'integrazione della frequenza eccessiva fornisce la potenza totale per unità di area in funzione della temperatura:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(nota che l'equazione di cui sopra utilizza # # Barh, la costante di Planck ridotta, piuttosto che # H #. È difficile da leggere nella notazione di Socratic)

Risolvendo il rapporto tra i due, il risultato è incredibilmente semplice. Se # # T_p è la temperatura di Plutone e # # T_M è la temperatura di Marte quindi il fattore #un# può essere calcolato con:

# (Pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / cancel (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / cancel (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # volte tanto