Risposta:
Spiegazione:
Innanzitutto, dovremmo iniziare con un'equazione che conosciamo relativa all'area di un cerchio, il raggruppamento e il suo raggio:
# A = pir ^ 2 #
Tuttavia, vogliamo vedere quanto velocemente l'area della piscina è in aumento, il che suona molto come il tasso … che suona molto come un derivato.
Se prendiamo la derivata di
# (DA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #
(Non dimenticare che la regola della catena si applica sul lato destro, con
Quindi, vogliamo determinare
# (DA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #
Per dirla in parole, diciamo che:
L'area della piscina sta aumentando al ritmo di
# # Bb40pi centimetro# "" ^ Bb2 # / min quando il raggio del cerchio è# # BB5 centimetro.
L'altezza di un triangolo aumenta ad una velocità di 1,5 cm / min mentre l'area del triangolo aumenta ad una velocità di 5 cm / min. A che velocità cambia la base del triangolo quando l'altitudine è di 9 cm e l'area è di 81 cm quadrati?
Questo è un problema di tipo relativo ai tassi (di cambiamento). Le variabili di interesse sono a = altitudine A = area e, poiché l'area di un triangolo è A = 1 / 2ba, abbiamo bisogno di b = base. Le velocità di variazione date sono in unità al minuto, quindi la variabile indipendente (invisibile) è t = tempo in minuti. Ci viene dato: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min E ci viene chiesto di trovare (db) / dt quando a = 9 cm e A = 81 cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, differenziando rispetto a t, otteniamo: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Avremo bisogno della rego
Lo zoo ha due serbatoi d'acqua che perdono. Un serbatoio dell'acqua contiene 12 galloni d'acqua e perde a una velocità costante di 3 g / ora. L'altro contiene 20 galloni d'acqua e perde a un tasso costante di 5 g / ora. Quando entrambi i serbatoi avranno la stessa quantità?
4 ore. Il primo carro armato ha 12g e perde 3g / ora. Il secondo serbatoio ne ha 20g e perde 5g / ora. Se rappresentiamo il tempo per t, potremmo scrivere come equazione: 12-3t = 20-5t Risoluzione per t 12-3t = 20-5t => 2 t = 8 => t = 4: 4 ore. In questo momento entrambi i serbatoi si saranno vuotati contemporaneamente.
L'acqua esce da una vasca conica rovesciata ad una velocità di 10.000 cm3 / min, allo stesso tempo l'acqua viene pompata nel serbatoio ad una velocità costante Se il serbatoio ha un'altezza di 6 metri e il diametro nella parte superiore è 4 metri e se il livello dell'acqua aumenta di 20 cm / min quando l'altezza dell'acqua è di 2 metri, come si trova la velocità con cui viene pompata l'acqua nel serbatoio?
Sia V il volume d'acqua nel serbatoio, in cm ^ 3; sia la profondità / altezza dell'acqua, in cm; e sia r il raggio della superficie dell'acqua (in alto), in cm. Poiché il serbatoio è un cono invertito, lo è anche la massa d'acqua. Dato che il serbatoio ha un'altezza di 6 me un raggio nella parte superiore di 2 m, triangoli simili implicano che frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 in modo che h = 3r. Il volume del cono invertito dell'acqua è quindi V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Ora differenziate entrambi i lati rispetto al tempo t (in minuti) per ottenere frac {dV} {