Un triangolo ha gli angoli A, B e C situati rispettivamente a (3, 5), (2, 9) e (4, 8). Quali sono i punti finali e la lunghezza dell'altitudine che attraversa l'angolo C?

Risposta:

endpoint #(4,8)# e #(40/17, 129/17) # e lunghezza # 7 / sqrt {17} #.

Spiegazione:

Sono apparentemente un esperto nel rispondere a domande di due anni. Continuiamo.

L'altitudine attraverso C è la perpendicolare da AB a C.

Ci sono alcuni modi per farlo. Possiamo calcolare la pendenza di AB come #-4,# allora la pendenza della perpendicolare è #1/4# e possiamo trovare l'incontro della perpendicolare attraverso C e la linea attraverso A e B. Proviamo in un altro modo.

Chiamiamo il piede della perpendicolare #F (x, y) #. Sappiamo che il prodotto punto del vettore di direzione CF con il vettore di direzione AB è zero se sono perpendicolari:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Questa è un'equazione. L'altra equazione dice #F (x, y) # è sulla linea attraverso A e B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Si incontrano quando

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

La lunghezza CF dell'altitudine è

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Controlliamo questo calcolando l'area usando la formula dei lacci e poi risolvendo l'altitudine. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 ora sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #