Qual è il più piccolo intero n tale che n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Risposta:

# N = 8075 #

Spiegazione:

Permettere #v_p (k) # essere la molteplicità di # P # come un fattore di #K#. Questo è, #v_p (k) # è il più grande numero tale che # P ^ (v_p (k)) | k #.

osservazioni:

• Per ogni #k in ZZ ^ + # e # P # primo, abbiamo #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Questo può essere facilmente dimostrato per induzione)

• Per qualsiasi numero intero #k> 1 #, noi abbiamo # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Questo è intuitivo, come multipli di poteri di #2# si verificano più frequentemente di multipli di poteri equivalenti di #5#e può essere provato rigorosamente usando un argomento simile)

• Per #j, k in ZZ ^ + #, noi abbiamo #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # per ogni primo divisore # P # di # J #.

Procedendo, il nostro obiettivo è trovare il numero intero minimo # N # così # 10 ^ 2016 |! N #. Come # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, quindi con la terza osservazione, dobbiamo solo confermarlo # 2016 <= v_2 (n!) # e # 2016 <= v_5 (n!) #. La seconda osservazione significa che il secondo implica il primo. Pertanto, è sufficiente trovare il numero intero minimo # N # così # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Trovare # N # faremo un'osservazione che ci permetterà di calcolare # V_5 (5 ^ k!) #.

Fra #1# e # 5 ^ k #, ci sono # 5 ^ k / 5 # multipli di #5#, ognuno dei quali contribuisce almeno #1# alla somma #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Ci sono anche # 5 ^ k / 25 # multipli di #25#, ognuno dei quali contribuisce a un ulteriore #1# alla somma dopo il conteggio iniziale. Possiamo procedere in questo modo fino a raggiungere un singolo multiplo di # 5 ^ k # (che è # 5 ^ k # stessa), che ha contribuito #K# tempi per la somma. Calcolando la somma in questo modo, abbiamo

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Quindi, lo troviamo # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Finalmente troveremo # N # così # v_5 (n!) = 2016 #. Se calcoliamo # V_5 (5 ^ k!) # per diversi valori di #K#, noi troviamo

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Come #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # N # ha bisogno di due "blocchi" di #5^5#, due di #5^4#, quattro di #5^3#e tre di #5^2#. Quindi, otteniamo

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Un computer può verificarlo rapidamente #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. così #10^2016 | 8075!#, e come #5|8075!# con molteplicità #2016# e #5|8075#, è chiaro che non basterà un valore inferiore.