Come si integra int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx usando la sostituzione trigonometrica?

Risposta:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = l n | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Spiegazione:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 9 + 4) d x #

#int 1 / (sqrt ((x-2) ^ 2 + 3 ^ 2)) d x #

# x-2 = 3tan theta "" d x = 3sec ^ 2 theta d theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int (3sec ^ 2 theta d theta) / sqrt (9tan ^ 2 theta + 9) = int (3sec ^ 2 theta d theta) / (3sqrt (1 + tan ^ 2 theta)) "" 1 + tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int (3sec ^ 2 theta d theta) / (3sqrt (sec ^ 2 theta)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int (cancella (3sec ^ 2 theta) d theta) / (cancella (3sec theta)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int sec theta d theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = l n | sec theta + tan theta | + C #

#tan theta = (x-2) / 3 "" sec theta = sqrt (1 + tan ^ 2 theta) = sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = l n | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Risposta:

# sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + C #

Spiegazione:

La versione iperbolica è anche possibile:

# x-2 = 3 sinh u #
#dx = 3 cosh u du #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int 1 / sqrt (9sinh ^ 2 u + 9) 3cosh u du = int 1 / (3cosh u) 3cosh u du = u + C #

Quindi:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + C #

Come si integra int sqrt (-x ^ 2-6x + 16) / xdx usando la sostituzione trigonometrica?

Vedi la risposta qui sotto:

Come si integra int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx usando la sostituzione trigonometrica?

-sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 (( e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C La soluzione è un po 'lunga !!! Dalla data int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) * dx Prendi nota che i = sqrt (-1) il numero immaginario Metti da parte quel numero complesso per un po 'e procedi all'integrale int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx completando il quadrato e facendo qualche raggruppamento: int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx in

Come si integra int sqrt (3 (1-x ^ 2)) dx usando la sostituzione trigonometrica?

Int sqrt (3 (1-x ^ 2)) dx = sqrt3 / 4sin2theta + sqrt3 / 2 theta + C x = sintheta, dx = cos theta d theta intsqrt (3 (1-sin ^ 2theta)) * cos theta d theta = intsqrt (3 (cos ^ 2theta)) cos theta d theta = intsqrt3 cos theta cos theta d theta = sqrt 3intcos ^ 2 theta d theta = sqrt3 int1 / 2 (cos2 theta + 1) d theta = sqrt3 / 2 int (cos2 theta + 1) d theta = sqrt3 / 2 [1/2 sin2theta + theta] = sqrt3 / 4sin2theta + sqrt3 / 2 theta + C