Come si integra int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx usando la sostituzione trigonometrica?

Risposta:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Spiegazione:

La soluzione è un po 'lunga !!!

Dal dato #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Prendi nota che # I = sqrt (-1) # il numero immaginario

Metti da parte quel numero complesso per un po 'e procedi con l'integrale

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

completando il quadrato e facendo qualche raggruppamento:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Prima sostituzione trigonometrica: ##

L'angolo acuto # W # con il lato opposto # = E ^ x + 10 # e il lato adiacente #=1# con hypotenuse =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Permettere # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

e poi

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

L'integrale diventa

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

dalla trigonometria #sec w = 1 / cos w # e #tan w = sin w / cos w #

L'integrale diventa

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # e

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Seconda sostituzione trigonometrica:

Permettere # w = 2 tan ^ -1 z #

# Dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

e anche # z = tan (w / 2) #

Il triangolo rettangolo: l'angolo acuto # W / 2 # con il lato opposto # = z #

Lato adiacente #=1# e ipotenusa # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Dalla trigonometria: richiamando le formule del mezzo angolo

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

risolvere per #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Anche usando l'identità #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

ne consegue che

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

l'integrale diventa

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

Semplificazione dei risultati integrali a

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Completando il quadrato:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Usa ora la formula #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

Permettere # U = z + 1/10 # e # = Un sqrt101 / 10 # e includendo di nuovo il # I = sqrt (-1) #

Scrivi la risposta finale usando le variabili originali

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #