Quali sono le implicazioni dell'invertibilità della matrice?

Quali sono le implicazioni dell'invertibilità della matrice?
Anonim

Risposta:

Vedi sotto per un profilo approssimativo.

Spiegazione:

Se una matrice nxn è invertibile, la conseguenza della grande immagine è che i suoi vettori di colonna e di riga sono linearmente indipendenti.

È anche (sempre) vero che se una matrice nxn è invertibile:

  • (1) il suo determinante è diverso da zero,

  • (2) #mathbf x = mathbf 0 # è l'unica soluzione a #A mathbf x = mathbf 0 #,

  • (3) #mathbf x = A ^ (- 1) mathbf b # è l'unica soluzione a #A mathbf x = mathbf b #, e

  • (4) i suoi autovalori sono diversi da zero.

Una matrice singolare (non invertibile) ha alfine un autovalore pari a zero. Ma non vi è alcuna garanzia che una matrice invertibile possa essere diagonalizzata o viceversa.

La diagonalizzazione avverrà solo quando una matrice fornisce un set completo di autovettori (che può verificarsi quando un autovalore è zero).