1.cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + cos ^ 2 ((31π) / 24) + cos ^ 2 ((37π) / 24) =? risolvi questo

Risposta:

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) = 2 #

Spiegazione:

Divertimento. Non so come farlo a mano libera, quindi proveremo solo alcune cose.

Non sembrano esserci angoli complementari o supplementari ovviamente in gioco, quindi forse la nostra mossa migliore è iniziare con la formula del doppio angolo.

#cos 2 theta = 2 cos ^ 2 theta - 1 #

# cos ^ 2 theta = 1/2 (1 + cos 2 theta) #

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({} 19π / 24) + cos ^ 2 ({} 31π / 24) + cos ^ 2 ({} 37π / 24) #

# = 4 (1/2) + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12) + cos ({31 pi} / 12) + cos ({37 pi} / 12)) #

Ora sostituiamo gli angoli con quelli di coterminale (quelli con le stesse funzioni trigonometriche) sottraendo # 2 più #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12 -2 pi) + cos ({31 pi} / 12 - 2 pi) + cos ({37 pi} / 12 - 2 pi)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos (- {5pi} / 12) + cos ({7pi} / 12) + cos ({13 pi} / 12)) #

Ora sostituiamo gli angoli con angoli supplementari, che annullano il coseno. Trascuriamo anche il segno meno nell'argomento coseno che non cambia il coseno.

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos (pi - {7pi} / 12) - cos (pi - {13 pi} / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (-pi / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (pi / 12)) #

# = 2 + 1/2(0) #

# = 2 #

Risposta:

#2#

Spiegazione:

Lo sappiamo, #cos (pi / 2 + theta) = - colore sintheta => (rosso) (cos ^ 2 (pi / 2 + theta) = (- sintheta) ^ 2 = sin ^ 2theta #

Così, #color (rosso) (cos ^ 2 ((31pi) / 24) = cos ^ 2 (pi / 2 + (19pi) / 24) = sin ^ 2 ((19pi) / 2) … a (1) #

# e cos ((3pi) / 2 + theta) = sintheta => colore (blu) (cos ^ 2 ((3pi) / 2 + theta) = sin ^ 2theta #

# => Colore (blu) (cos ^ 2 ((37pi) / 2) = cos ^ 2 ((3pi) / 2 + pi / 24) = sin ^ 2 (pi / 24) … a (2) #

utilizzando # (1) e (2) #

# X = cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + colore (rosso) (cos ^ 2 ((31π) / 24)) + colore (blu) (cos ^ 2 ((37π) / 24) #

# = Cos ^ 2 (pi / 24) + cos ^ 2 ((19pi) / 2) + colore (rosso) (sin ^ 2 ((19pi) / 2)) + colore (blu) (sin ^ 2 (pi / 24) #

# = {Cos ^ 2 (pi / 24) + sin ^ 2 (pi / 24)} + {cos ^ 2 ((19pi) / 2) + sin ^ 2 ((19pi) / 2} #

# = 1 + 1 … a come, sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1 #

#=2#