Sia P un punto qualsiasi sulla conica r = 12 / (3-sin x). Sia F¹ che F² i punti (0, 0 °) e (3, 90 °) rispettivamente. Mostra che PF¹ e PF² = 9?

Risposta:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Ci viene chiesto di mostrare # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #, cioè # P # spazza via un'ellisse con i fuochi # # F_1 e # F_2. # Guarda la dimostrazione qui sotto.

Spiegazione:

Risolviamo quello che immagino sia un errore di battitura e dica #P (r, theta) # soddisfa

#r = 12 / {3-sin theta} #

La gamma di seno è #pm 1 # quindi concludiamo # 4 le rle 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

In coordinate rettangolari, # P = (r cos theta, r sin theta) # e # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | R-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # dato che lo sappiamo già # 4 le rle 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #