Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = xy (1-x-y)?

Risposta:

I punti #(0,0),(1,0)#, e #(0,1)# sono i punti di sella. Il punto #(1/3,1/3)# è un punto massimo locale.

Spiegazione:

Possiamo espandere # F # a #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Successivamente, trova le derivate parziali e impostale su zero.

# frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { partial f} { partial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Chiaramente, # (X, y) = (0,0), (1,0), # e #(0,1)# sono soluzioni a questo sistema, e quindi sono punti critici di # F #. L'altra soluzione può essere trovata dal sistema # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Risolvere la prima equazione per # Y # in termini di #X# dà # Y = 1-2x #, che può essere inserito nella seconda equazione per ottenere # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Da questa, # Y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # anche.

Per verificare la natura di questi punti critici, troviamo le seconde derivate:

# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x #, e # frac { partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2} f} { partial y partial x} = 1-2x-2y #.

Il discriminante è quindi:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ ^ 2-4y 2-4xy-1 #

Collegare i primi tre punti critici in dà:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, e #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, rendendo questi punti punti di sella.

Collegare l'ultimo punto critico dà #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Si noti inoltre che # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Perciò, #(1/3,1/3)# è una posizione di un valore massimo locale di # F #. È possibile verificare che il valore massimo locale stesso sia #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Di seguito un'immagine della mappa dei contorni (delle curve di livello) di # F # (le curve in cui l'output di # F # è costante), insieme ai 4 punti critici di # F #.