Quali sono i punti estremi e di sella di f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Il dominio di definizione di:

#f (x) = 2x ^ 2lnx #

è l'intervallo #x in (0, + oo) #.

Valutare la prima e la seconda derivata della funzione:

# (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) #

# (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx #

I punti critici sono le soluzioni di:

#f '(x) = 0 #

# 2x (1 + 2lnx) = 0 #

e come #x> 0 #:

# 1 + 2lnx = 0 #

#lnx = -1 / 2 #

#x = 1 / sqrt (e) #

In questo punto:

#f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 #

quindi il punto critico è un minimo locale.

I punti di sella sono le soluzioni di:

#f '' (x) = 0 #

# 6 + lnx = 0 #

#lnx = -6 #

# x = 1 / e ^ 6 #

e come #f '' (x) # è in aumento monotono possiamo concludere quello #f (x) # è concavo per #x <1 / e ^ 6 # e concavo per #x> 1 / e ^ 6 #

grafico {2x ^ 2lnx -0.2943, 0.9557, -0.4625, 0.1625}