Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Risposta:

Spiegazione:

Abbiamo:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Passaggio 2: identificare i punti critici

Un punto critico si verifica in una soluzione simultanea di

# f_x = f_y = 0 iff (partial f) / (partial x) = (partial f) / (partial y) = 0 #

cioè, quando:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Risolvendo A e B simultaneamente, otteniamo un'unica soluzione:

# x = y = 1 #

Quindi possiamo concludere che c'è un punto critico:

# (1,1) #

Passaggio 3: classificare i punti critici

Per classificare i punti critici eseguiamo un test simile a quello di un calcolo variabile usando le seconde derivate parziali e la matrice hessiana.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parziale ^ 2 f) / (parziale x ^ 2), (parziale ^ 2 f) / (parziale x parziale y)), ((parziale ^ 2 f) / (parziale y parziale x), (parziale ^ 2 f) / (parziale y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Quindi a seconda del valore di #Delta#:

# {: (Delta> 0, "C'è il massimo se" f_ (xx) <0), (, "e un minimo se" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "c'è un punto di sella"), (Delta = 0, "Sono necessarie ulteriori analisi"):} #

Usando macro personalizzate excel i valori delle funzioni insieme ai valori derivati parziali sono calcolati come segue: