Come differenziate f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) usando la regola del prodotto?

Risposta:

Per prima cosa usi la regola di produzione per ottenere

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

Quindi utilizzare la linearità della derivata e le definizioni delle derivate delle funzioni da ottenere

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #

Spiegazione:

La regola del prodotto consiste nel prendere la derivata della funzione che sono multipli di due (o più) funzioni, nella forma #f (x) = g (x) * h (x) #. La regola del prodotto è

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

Applicandolo alla nostra funzione,

#f (x) = (x-e ^ x) (+ cosx 2sinx) #

abbiamo

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

Inoltre abbiamo bisogno di usare la linearità della derivazione, quella

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

Applicando questo abbiamo

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (sinx)) #.

Abbiamo bisogno di fare i singoli derivati di queste funzioni, che usiamo

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Ora abbiamo

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

A questo punto abbiamo appena pulito un po '

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #