Qual è il significato della frase matrice invertibile?

La risposta breve è che in un sistema di equazioni lineari se la matrice dei coefficienti è invertibile, allora la soluzione è unica, cioè hai una soluzione.

Ci sono molte proprietà per una matrice invertibile da elencare qui, quindi dovresti guardare al Teorema della Matrice Invertibile. Perché una matrice sia invertibile, deve essere piazza, cioè, ha lo stesso numero di righe delle colonne.

In generale, è più importante sapere che una matrice è invertibile, piuttosto che produrre una matrice invertibile perché è più dispendioso dal punto di vista computazionale calcolare la matrice invertibile rispetto alla sola soluzione del sistema. Calcolerai una matrice inversa se stai risolvendo molte soluzioni.

Supponiamo di avere questo sistema di equazioni lineari:

# 2x + 1.25y = q_1 #

# 2.5x + 1.5y = q_2 #

e devi risolvere # (x, y) # per le coppie di costanti: #(119.75, 148), (76.5, 94.5), (152.75, 188.5)#. Sembra molto lavoro! In forma matriciale, questo sistema si presenta come:

# Ax = b #

dove #UN# è la matrice del coefficiente, #X# è il vettore # (X, y) # e # B # è il vettore # (b_1, b_2) #. Possiamo risolvere per #X# con qualche algebra matriciale:

# X = A ^ (- 1) b #

dove #A ^ (- 1) # è la matrice inversa. Ci sono diversi modi per calcolare la matrice inversa, quindi non ne parlerò ora.

#A ^ (- 1) = #

#-12, 10#

#20, -16#

Quindi, per ottenere le soluzioni, abbiamo:

# -12 * 119.75 + 10 * 148 = 43 = x_1 #

# 20 * 119,75-16 * 148 = 27 = y_1 #

# -12 * 76,5 + 10 * 94.5 = 27 = x_2 #

# 20 * 76,5-16 * 94.5 = 18 = y_2 #

# -12 * 152.75 + 10 * 188.5 = 52 = x_3 #

# 20 * 152,75-16 * 188.5 = 39 = y_3 #

Ora, non è più facile che risolvere 3 sistemi?