Perché il cerchio unitario e le funzioni trigonometriche definite su di esso sono utili, anche quando gli ipotenici dei triangoli nel problema non sono 1?

Le funzioni trigonometriche ci dicono la relazione tra gli angoli e le lunghezze laterali nei triangoli rettangoli. La ragione per cui sono utili ha a che fare con le proprietà di triangoli simili.

Triangoli simili sono triangoli che hanno le stesse misure angolari. Di conseguenza, i rapporti tra i lati simili di due triangoli sono gli stessi per ciascun lato. Nell'immagine qui sotto, tale rapporto è #2#.

Il cerchio unitario ci dà relazioni tra le lunghezze dei lati dei diversi triangoli rettangoli e i loro angoli. Tutti questi triangoli hanno un'ipotenusa di #1#, il raggio del cerchio unitario. I loro valori seno e coseno sono le lunghezze delle gambe di questi triangoli.

Supponiamo di avere un # 30 ^ o #- # 60 ^ o #- # 90 ^ o # triangolo e sappiamo che la lunghezza dell'ipotenusa è #2#. Possiamo trovare a # 30 ^ o #- # 60 ^ o #- # 90 ^ o # triangolo sul cerchio dell'unità. Dal momento che l'ipotenusa del nostro nuovo triangolo è #2#, sappiamo che il rapporto tra i lati è uguale al rapporto tra gli ipotenici.

# r = (hypoten u se) / 1 = 2/1 = 2 #

Quindi per risolvere gli altri lati del triangolo, dobbiamo solo moltiplicare #sin (30 ^ o) # e #cos (30 ^ o) # di # R #, che è #2#.

# 2sin (30 ^ o) = 2 (1/2) = 1 #

# 2cos (30 ^ o) = 2 (sqrt (3) / 2) = sqrt (3) #

Puoi risolvere qualsiasi triangolo rettangolo che conosci almeno un lato trovando un triangolo simile sul cerchio unitario, quindi moltiplicando #sin (theta) # e #cos (theta) # dal rapporto di scala.