Cosa significa punto esclamativo in matematica? + Esempio

Risposta:

Un punto esclamativo indica qualcosa chiamato a fattoriale.

Spiegazione:

La definizione formale di n # #! (n factorial) è il prodotto di tutti i numeri naturali minori o uguali a # N #. Nei simboli matematici:

# N! = n * (n-1) * (n-2) … #

Fidati di me, è meno confusionario di quanto sembri. Dì che volevi trovare #5!#. Devi solo moltiplicare tutti i numeri minori o uguali a #5# fino a quando non si arriva a #1#:

#5! = 5*4*3*2*1=120#

O #6!#:

#6! = 6*5*4*3*2*1=720#

Il bello dei fattoriali è la facilità con cui puoi semplificarli. Diciamo che ti viene dato il seguente problema:

Calcolare #(10!)/(9!)#.

Sulla base di ciò che ti ho detto sopra, potresti pensare che dovrai moltiplicare #10*9*8*7…# e dividerlo per #9*8*7*6…#, che probabilmente richiederà molto tempo. Tuttavia, non deve essere così difficile. Da #10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1#, e #9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1#, puoi esprimere il problema in questo modo:

#(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1)#

E dai un'occhiata a quello! I numeri #1# attraverso #9# Annulla:

# (10 * cancel9 * * cancel8 cancel7 * * cancel6 cancel5 * * cancel4 cancel3 * * cancel2 cancel1) / (cancel9 * * cancel8 cancel7 * * cancel6 cancel5 * * cancel4 cancel3 * * cancel2 cancel1) #

Lasciandoci con #10# come risultato.

A proposito, #0! = 1#. Per scoprire perché, dai un'occhiata a questo link.

Applicazioni dei fattoriali

Il luogo in cui i fattoriali sono davvero utili è la probabilità. Ad esempio: quante parole puoi ricavare dalle lettere # # ABCDE, senza ripetere nessuna lettera? (Le parole in questo caso non devono avere senso - puoi avere # # AEDCB, per esempio).

Bene, lo hai #5# scelte per la tua prima lettera, #4# per la tua prossima lettera (ricorda - nessuna ripetizione, se hai scelto #UN# per la tua prima lettera, puoi solo scegliere # # BCDE per il tuo secondo), #3# per il prossimo, #2# per quello dopo, e #1# per l'ultimo. Le regole di probabilità dicono che il numero totale di parole è il prodotto delle scelte:

#underbrace (5) _ ("scelte per la prima lettera") * 4 * 3 * 2 * 1 #

E quattro è il numero di scelte per la seconda lettera e così via. Ma aspetta - lo riconosciamo, giusto! Suo #5!#:

#5! = 5*4*3*2*1=120#

Quindi ci sono #120# modi.

Vedrai anche i fattoriali usati in permutazioni e combinazioni, che ha anche a che fare con la probabilità. Il simbolo per le permutazioni è #"_National Public Radio, Radio Pubblica#e il simbolo per le combinazioni è # "_ NC_r # (le persone usano # ((N), (r)) # per combinazioni la maggior parte del tempo, però, e tu dici "n scegli r".) Le formule per loro sono:

# "_ NP_r = (n!) / ((N-r)!) #

# "_ NC_r = (n!) / ((N-r)! R!) #

Lì vediamo il nostro amico, il fattoriale. Una spiegazione delle permutazioni e delle combinazioni renderebbe questa risposta già lunga ancora più lunga, quindi controlla questo link per le permutazioni e questo link per le combinazioni.