Perché non puoi avere zero al potere di zero?

Questa è davvero una buona domanda. In generale, e nella maggior parte delle situazioni, i matematici definiscono #0^0 = 1#.

Ma questa è la risposta breve. Questa domanda è stata discussa dai tempi di Eulero (cioè centinaia di anni).

Sappiamo che qualsiasi numero diverso da zero è aumentato a #0# il potere è uguale #1 #

# n ^ 0 = 1 #

E quello zero elevato a un numero diverso da zero equivale #0#

# 0 ^ n = 0 #

A volte #0^0# è definito come indeterminato, che in alcuni casi sembra essere uguale a #1# e altri #0.#

Due fonti che ho usato sono:

www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-multiply-and-divide/cc-7th-exponents-negative-base/v/powers-of- zero

Beh, potresti averlo #0^0#. In generale, i matematici se ne vanno #0^0# non definito. Ci sono 3 considerazioni che potrebbero indurre qualcuno a definire una definizione #0^0#.

Il problema (se si tratta di un problema) è che non sono d'accordo su quale dovrebbe essere la definizione.

Considerazione 1:

Per qualsiasi numero # P # diverso da #0#, noi abbiamo # P ^ 0 = 1 #.

Questa è in realtà una definizione di ciò che significa l'esponente zero. È una definizione scelta per buone ragioni. (E non "spezza" l'aritmetica).

Ecco uno dei buoni motivi: definire # P ^ 0 # essere #1# ci permette di mantenere (ed estendere) le regole per lavorare con esponenti, Per esempio, #(5^7)/(5^3)=5^4# Questo funziona per cancellazione e anche per la regola # (P ^ n) / (p ^ m) = P ^ (n-m) # per # n> m #.

E allora? #(5^8)/(5^8)#?

La cancellazione (riducendo la frazione) ci dà #1#. Possiamo mantenere la nostra regola "sottrazione degli esponenti", se noi definire #5^0# essere #1#.

Quindi, forse dovremmo usare la stessa regola per definire #0^0#.

Ma…

Considerazione 2

Per qualsiasi esponente positivo, # P #, noi abbiamo # 0 ^ p = 0 #. (Questo è non una definizione, ma un fatto che possiamo provare).

Quindi se è vero per gli esponenti positivi, forse dovremmo estenderlo a #0# esponente e definire #0^0=0#.

Considerazione 3

Abbiamo esaminato le espressioni: # X ^ 0 # e # 0 ^ x #.

Ora guarda l'espressione # X ^ x #. Ecco il grafico di # Y = x ^ x #:

graph {y = x ^ x -1.307, 3.018, -0.06, 2.103}

Una delle cose che potresti notare su questo è quando #X# è molto vicino a #0# (ma ancora positivo), # X ^ x # è molto vicino a #1#.

In alcuni campi della matematica, questa è una buona ragione per farlo definire #0^0# essere #1#.

Note finali

La definizione è importante e potente, ma non può essere usata con noncuranza. Ho menzionato "rompere l'aritmetica". Qualsiasi tentativo di definire divisione in modo tale divisione per #0# è permesso spezzerà una parte importante dell'aritmetica. Qualsiasi tentativo

Ultima nota: le definizioni di #x ^ (- n) = 1 / (x ^ n) # e # x ^ (1 / n) = root (n) x # sono anche motivati in parte dal desiderio di mantenere le nostre regole familiari per lavorare con gli esponenti.