Qual è l'inverso di f (x) = -ln (arctan (x))?

Risposta:

# f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

Spiegazione:

Un modo tipico per trovare una funzione inversa è impostare #y = f (x) # e quindi risolvere per #X# ottenere #x = f ^ -1 (y) #

Applicandolo qui, iniziamo con

#y = -ln (arctan (x)) #

# => -y = ln (arctan (x)) #

# => e ^ -y = e ^ (ln (arctan (x))) = arctan (x) # (dalla definizione di # Ln #)

# => tan (e ^ -y) = tan (arctan (x)) = x # (dalla definizione di # # Arctan)

Così abbiamo # f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

Se vogliamo confermare questo tramite la definizione # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = x #

ricordatelo #y = f (x) # quindi abbiamo già

# f ^ -1 (y) = f ^ -1 (f (x)) = x #

Per la direzione inversa, #f (f ^ -1 (x)) = -ln (arctan (tan (e ^ -x)) #

# => f (f ^ -1 (x)) = -ln (e ^ -x) #

# => f (f ^ -1 (x)) = - (- x * ln (e)) = - (- x * 1) #

# => f (f ^ -1 (x)) = x #