Qual è la formula per trovare l'area di un dodecagono regolare?

Risposta:

#S _ ("regular dodecagon") = (3 / (tan 15 ^ @)) "side" ^ 2 ~ = 11.196152 * "side" ^ 2 #

Spiegazione:

Pensando a un dodecagono regolare inscritto in un cerchio, possiamo vedere che è formato da 12 triangoli isosceli i cui lati sono il raggio del cerchio, il raggio del cerchio e il lato del dodecagono; in ciascuno di questi triangoli l'angolo opposto al lato del dodecagono è uguale a #360^@/12=30^@#; l'area di ciascuno di questi triangoli è # ("Lato" * "altezza) / 2 #, abbiamo solo bisogno di determinare l'altezza perpendicolare al lato del dodecagono per risolvere il problema.

Nel triangolo isoscele menzionato, la cui base è il lato del dodecagono e i cui lati uguali sono i raggi del cerchio, il cui angolo è opposto alla base (#alfa#) è uguale a #30^@#, c'è solo una linea disegnata dal vertice in cui i raggi del cerchio si incontrano (punto C) che intercetta perpendicolarmente il lato del dodecagono: questa linea divide in due l'angolo #alfa# così come definisce l'altezza del triangolo tra il punto C e il punto in cui viene intercettata la base (punto M), così come divide la base in due parti uguali (tutto perché i due triangoli più piccoli così formati sono congruenti).

Poiché i due triangoli più piccoli menzionati sono quelli giusti, possiamo determinare l'altezza del triangolo isoscele in questo modo:

#tan (alpha / 2) = "cathetus opposto" / "cathetus adiacente" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("side" / 2) / "height" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Poi abbiamo

#S_ (dodecagono) = 12 * S_ (triangolo) = 12 * (("lato") ("altezza")) / 2 = 6 * ("lato") ("lato") / (2 * abbronzatura 15 ^ @) # => #S_ (dodecagono) = 3 * ("lato") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #