Trova l'equazione del cerchio con A (2, -3) e B (-3,5) come endpoint di un diametro?

Per trovare l'equazione di un cerchio, dobbiamo trovare il raggio e il centro.

Poiché abbiamo i punti finali del diametro, possiamo usare la formula del punto medio per ottenere il punto medio, che è anche il centro del cerchio.

Trovare il punto medio:

#M = ((2 + (- 3)) / 2, (- 3 + 5) / 2) = (- 1 / 2,1) #

Quindi il centro del cerchio è #(-1/2,1)#

Trovare il raggio:

Poiché abbiamo i punti finali del diametro, possiamo applicare la formula della distanza per trovare la lunghezza del diametro. Quindi, dividiamo la lunghezza del diametro per 2 per ottenere il raggio. In alternativa, possiamo usare le coordinate del centro e uno degli endpoint per trovare la lunghezza del raggio (ti lascio questo - le risposte saranno le stesse).

#AB = sqrt ((2 - (- 3)) ^ 2 + (-3-5) ^ 2) #

#:. AB = sqrt (89) #

# Raggio = sqrt (89) / 2 #

L'equazione generale di un cerchio è data da:

# (X-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Quindi abbiamo

# (X - (- 1/2)) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = (sqrt (89) / 2) #

Pertanto, l'equazione del cerchio è # (X + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Risposta:

# X ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Spiegazione:

L'equazione del cerchio con #A (x_1, y_1) e B (x_2, y_2) # come

endpoint di un diametro è

#color (rosso) ((x-x_1) (x-x_2) + (y-y_1) (y-y_2) = 0) #.

Abbiamo, #A (2, -3) e B (-3,5). #

#:.# L'equn richiesta del cerchio è, # (X-2) (x + 3) + (y + 3) (y-5) = 0 #.

# => X ^ 2 + 3x-2x-6 + y ^ 2-5Y + 3y-15 = 0 #

# => X ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Risposta:

# (X + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Spiegazione molto completa

Spiegazione:

Ci sono due cose da risolvere sentire.

1: qual è il raggio (ne avremo bisogno)

2: dov'è il centro del cerchio.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (blu) ("Determina il punto centrale") #

Questo sarà il valore medio di x e la media di y

Valore medio di #X#: passiamo da -3 a 2, che è una distanza di 5. Dimezza di questa distanza #5/2# quindi abbiamo:

#x _ ("mean") = -3 + 5/2 = -1 / 2 #

Valore medio di # Y #: passiamo da -3 a 5, che è 8. La metà di 8 è 4, quindi abbiamo: #-3+4=+1#

#color (rosso) ("Punto centrale" -> (x, y) = (-1 / 2, + 1)) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (blu) ("Determina il raggio") #

Usiamo Pitagora per determinare la distanza tra i punti

# D = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) #

# D = sqrt (2 - (- 3) ^ 2 + - 3-5 ^ 2) #

# D = sqrt (25 + 64) = sqrt (89) # Si noti che 89 è un numero primo

#color (rosso) ("So radius" -> r = D / 2 = sqrt (89) /2~~4.7169905 … "Approssimativamente") #

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#color (blu) ("Determina l'equazione del cerchio") #

Questo non è ciò che sta realmente accadendo, ma quanto segue ti aiuterà a ricordare l'equazione.

Se il centro è a # (X, y) = (- 1 / 2,1) # quindi se spostiamo questo punto verso l'origine (incrocio dell'asse) abbiamo:

# (x + 1/2) e (y-1) #

Per rendere questo nell'equazione di un cerchio usiamo Pythagoras (di nuovo) dando:

# R ^ 2 = (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Ma lo sappiamo # r = sqrt (89) / 2 "così" r ^ 2 = 89/4 # dando:

# (X + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #