Qual è la probabilità di vincere nel seguente gioco ripetuto all'infinito?

Risposta:

# "Risposta D)" #

Spiegazione:

# "È l'unica risposta logica, gli altri sono impossibili." #

# "Questo è il problema della rovina del giocatore." #

# "Un giocatore inizia con k dollaro." #

# "Gioca finché non raggiunge il dollaro G o scende a 0." #

#p = "possibilità che vinca 1 dollaro in una partita" #

#q = 1 - p = "possibilità che perda 1 dollaro in una partita" #

# "Chiama" r_k "la probabilità (probabilità) che si rovini." #

#"Poi abbiamo"#

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "con" 1 <= k <= G-1 #

# "Possiamo riscrivere questa equazione a causa di p + q = 1 come segue:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Ora qui abbiamo il caso" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Per" r_k "abbiamo" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Quindi il giocatore A inizia qui con k = un dollaro e gioca fino a" #

# "si rovina o ha un + b dollaro." #

# => k = a, "e" G = a + b #

# "Quindi le probabilità che si rovini sono" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Le probabilità che vince sono" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Risposta D)" #