Qual è la radice quadrata di -50 volte la radice quadrata di -10?

Risposta:

#sqrt (-50) * sqrt (-10) = -10sqrt (5) #

Spiegazione:

Questo è leggermente complicato, dal momento che #sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) # è solo generalmente vero per #a, b> = 0 #.

Se pensavate che potesse contenere anche numeri negativi, avreste delle "prove" spurie come:

# 1 = sqrt (1) = sqrt (-1 * -1) = sqrt (-1) sqrt (-1) = -1 #

Utilizzare invece la definizione della radice quadrata principale di un numero negativo:

#sqrt (-n) = i sqrt (n) # per #n> = 0 #, dove #io# è "la" radice quadrata di #-1#.

Mi sento un po 'a disagio anche mentre scrivo: ci sono due radici quadrate di #-1#. Se chiami uno di loro #io# allora l'altro è #-io#. Non sono distinguibili come positivi o negativi. Quando introduciamo i numeri complessi, ne scegliamo fondamentalmente uno e lo chiamiamo #io#.

Comunque, torniamo al nostro problema:

#sqrt (-50) * sqrt (-10) = i sqrt (50) * i sqrt (10) = i ^ 2 * sqrt (50) sqrt (10) #

# = -1 * sqrt (50 * 10) = -sqrt (10 ^ 2 * 5) = -sqrt (10 ^ 2) sqrt (5) #

# = -10sqrt (5) #