Come risolvere 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Risposta:

Possiamo risolvere graficamente questa domanda.

Spiegazione:

L'equazione data # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # può essere riscritto come

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Ora prendi questi due come funzioni separate

#f (x) = 2e ^ (x) # e #g (x) = 7-2x # e traccia il loro grafico; loro punto di intersezione sarà il soluzione alla data equazione # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Questo è mostrato qui sotto: -

Risposta:

Questo è al di là dell'algebra del liceo e il modo migliore per risolverlo è chiedere a Wolfram Alpha chi risponde #x circa.94 #.

Spiegazione:

Risolvere

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Domande come questa sono in generale difficili, e la risposta dipende se sei in Algebra al liceo o più in profondità nella matematica.

Per le scuole superiori, l'approccio migliore è provare solo alcuni numeri piccoli e vedere se funzionano. (Questo funziona per molti, molti problemi di matematica delle scuole superiori, fyi.) C'è davvero solo un razionale #X# quello fa # E ^ x # razionale, # X = 0 #, che non è una soluzione. Quindi indovinare non funzionerà qui.

Se un'approssimazione è abbastanza buona, possiamo rappresentarla graficamente o graficamente # 2e ^ x # e # # 7-2x e vedere dove si incontrano.

Qualunque sia il tuo livello, di fronte a uno difficile come questo, di solito è una buona mossa chiedere all'esperto disponibile, che è Wolfram Alpha.

Vediamo che Alpha ci ha dato una risposta approssimativa, molto vicina a 1, e persino una formula che usa W (x), che è il Log dei prodotti Lambert, che di solito non fa parte della matematica delle scuole superiori.

Non c'è risposta usando le funzioni e le operazioni regolari che conosciamo nell'algebra delle superiori. Questo è generalmente vero quando aggiungiamo un termine con #X# in un esponente a uno dove #X# appare come una potenza lineare o superiore.

Questa è la fine della risposta per la maggior parte degli studenti. Ma possiamo andare più a fondo. Il log del prodotto è una funzione interessante.Considera l'equazione

#k = xe ^ x #

Sul lato destro è una funzione crescente di #X#, quindi attraverserà #K# presto o tardi. Prendere il registro non ci porta davvero da nessuna parte: #ln k = ln x + x #.

Abbiamo bisogno di qualcosa come un log, ma non di quello inverso # E ^ x #. Deve essere l'inverso di # Xe ^ x #. Questo è chiamato il Log prodotto o la funzione Lambert W, definita come:

#k = xe ^ x # ha una vera soluzione #x = W (k) #.

Limiteremo la nostra attenzione ai reali. È divertente provare a scoprire # W '#s proprietà. Quello fondamentale che ci viene dato è

#W (xe ^ x) = x #

Let's Let # X = ye ^ y # nel modo seguente #W (x) = y #. Adesso

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Questo è figo. Che ne dite di

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Prendendo tronchi, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # supponendo che i registri siano definiti

Ora che vedi come funziona con W, vedi se puoi usarlo per risolvere l'equazione o per controllare la soluzione di Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #