Z1 + z2 = z1 + z2 se e solo se arg (z1) = arg (z2), dove z1 e z2 sono numeri complessi. Come? Spiega per favore!

Risposta:

Si prega di fare riferimento al Discussione nel Spiegazione.

Spiegazione:

Permettere, # | Z_j | = r_j; r_j gt 0 e arg (z_j) = theta_j in (-pi, pi; (j = 1,2). #

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2. #

Chiaramente, # (Z_1 + Z_2) = R_1 (costheta_1 + isintheta_1) + R_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (R_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (+ r_1sintheta_1 r_2sintheta_2). #

Richiama questo, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + Z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = R_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + sin ^ 2theta_1) + R_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = R_1 ^ 2 + R_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + Z_2 | ^ 2 = R_1 ^ 2 + R_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (stella ^ 1) #.

# "Ora visto ciò," | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, cioè, #.

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (stella ^ 2). #

A partire dal # (stella ^ 1) e (stella ^ 2) # noi abbiamo, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2. #

# "Annullamento" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0. #

#:. (theta_1-theta_2) = 2kpi + -0, k in ZZ. #

# "Ma," theta_1, theta_2 in (pi, pi, theta_1-theta_2 = 0, o, #

# theta_1 = theta_2, "dare", arg (z_1) = arg (z_2), # come desiderato!

Quindi, abbiamo dimostrato che, # | Z_1 + Z_2 | = | z_1 | + | Z_2 | rArr Arg (z_1) = Arg (z_2). #

Il conversare può essere provato su linee simili.

Goditi la matematica!