Come si integra int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Risposta:

Usare un # U #-stituzione da ottenere # -3lnabs (culla (t)) + C #.

Spiegazione:

Innanzitutto, nota questo perché #3# è una costante, possiamo estrapolarla dall'integrale per semplificare:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / lettino (t) dt #

Ora - e questa è la parte più importante - si noti che la derivata di #cot (t) # è # -Csc ^ 2 (t) #. Poiché abbiamo una funzione e la sua derivata presente nello stesso integrale, possiamo applicare a # U # sostituzione come questa:

# U = culla (t) #

# (Du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# Du = -csc ^ 2 (t) dt #

Possiamo convertire il positivo # Csc ^ 2 (t) # a un negativo come questo:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / lettino (t) dt #

E applica la sostituzione:

# -3int (du) / u #

Lo sappiamo #int (du) / u = lnabs (u) + C #, quindi si valuta l'integrale. Abbiamo solo bisogno di invertire il surrogato (rimettete la risposta in termini di # T #) e allegare quello #-3# al risultato. Da # U = culla (t) #, possiamo dire:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (lettino (t)) + C #

E questo è tutto.

Risposta:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const #

Spiegazione:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Ricordatelo

#sin 2t = 2sint * costo #

Così

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Come possiamo trovare in una tabella di integrali

(ad esempio Tabella degli integrali contenenti Csc (ax) in SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

otteniamo questo risultato

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const #