Quali sono gli estremi assoluti di f (x) = x - e ^ x in [1, ln8]?

Risposta:

C'è un massimo assoluto di #-1.718# a # X = 1 # e un minimo assoluto di #-5.921# a # x = LN8 #.

Spiegazione:

Determinare estremo assoluto su un intervallo, dobbiamo trovare i valori critici della funzione che si trovano all'interno dell'intervallo. Quindi, dobbiamo testare sia i punti finali dell'intervallo che i valori critici. Questi sono i punti in cui potrebbero verificarsi valori critici.

Trovare valori critici:

I valori critici di #f (x) # si verificano ogni volta #f '(x) = 0 #. Quindi, dobbiamo trovare la derivata di #f (x) #.

Se:# "" "" "" "" "" f (x) = x-e ^ x #

Poi: # "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x #

Quindi, i valori critici si verificheranno quando: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

Il che implica che:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" e ^ x = 1 #

Così:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "x = ln1 = 0 #

L'unico valore critico della funzione è a # X = 0 #, che è non sull'intervallo dato # 1, LN8 #. Pertanto, gli unici valori a cui potrebbero verificarsi gli estremi assoluti sono a # X = 1 # e # x = LN8 #.

Test dei valori possibili:

Semplicemente, trova #f (1) # e #f (LN8) #. Più piccolo è il minimo assoluto della funzione e maggiore è il massimo assoluto.

#f (1) = 1-e ^ 1 = 1-eapprox-1.718 #

#f (LN8) = LN8-e ^ LN8 = ln8-8approx-5,921 #

Quindi, c'è un massimo assoluto di #-1.718# a # X = 1 # e un minimo assoluto di #-5.921# a # x = LN8 #.

Rappresentata graficamente è la funzione originale nell'intervallo dato:

graph {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

Poiché non ci sono valori critici, la funzione rimarrà decrescente sull'intero intervallo. Da # X = 1 # è l'inizio dell'intervallo in costante diminuzione, avrà il valore più alto. La stessa logica si applica a # x = LN8 #, poiché è il più lontano dell'intervallo e sarà il più basso.