Risposta:
Alcuni pensieri …
Spiegazione:
C'è molto che si potrebbe dire qui, ma qui ci sono alcuni pensieri …
Cos'è un numero?
Se vogliamo essere in grado di ragionare sui numeri e sulle cose che misurano o forniscono il linguaggio da esprimere, allora abbiamo bisogno di solide fondamenta.
Possiamo iniziare da numeri interi:
Quando vogliamo esprimere più cose, ci imbattiamo anche nel bisogno di numeri negativi, quindi espandiamo la nostra idea di numeri agli interi:
Quando vogliamo dividere qualsiasi numero con qualsiasi numero diverso da zero, espandiamo la nostra idea di numeri in numeri razionali
Poi ci imbattiamo in inconvenienti come il fatto che la diagonale di un quadrato con lati razionali ha una lunghezza che non possiamo esprimere come numero razionale. Per risolvere il problema dobbiamo introdurre radici quadrate - un tipo di numero irrazionale. Le radici quadrate ci permettono di risolvere equazioni come:
# x ^ 2 + 4x + 1 = 0 #
Spesso quando gestiamo numeri irrazionali come
Nota che i numeri di cui abbiamo parlato fino ad ora hanno un ordine totale naturale: possiamo posizionarli su una linea in modo tale che sia possibile confrontare due numeri qualsiasi.
E l'intera linea?
È comunemente noto come la linea del numero reale, in cui ogni punto della linea è associato a un numero.
Come possiamo ragionare sui numeri su questa linea in generale?
Possiamo usare l'ordinamento totale, le proprietà aritmetiche e caratterizzare i numeri reali in termini di limiti. In generale, ragionare sui numeri reali richiede più di quel tipo di pensiero.
Quindi la matematica diventa più complicata quando passiamo dal ragionamento sui numeri naturali al ragionamento sui numeri reali? No, diventa diverso - molto diverso. Ad esempio, un problema irrisolto in matematica è:
C'è un numero infinito di coppie prime - cioè coppie di numeri
# P # e# P + 2 # tale che entrambi sono primi.
Sembra abbastanza semplice, ma il meglio che possiamo fare finora è mostrare che esiste un numero infinito di coppie prime della forma
Il 20 ° termine di una serie aritmetica è log20 e il 32 ° termine è log32. Esattamente un termine nella sequenza è un numero razionale. Qual è il numero razionale?
Il decimo termine è log10, che equivale a 1. Se il 20 ° termine è log 20 e il 32nd term è log32, ne consegue che il decimo termine è log10. Log10 = 1. 1 è un numero razionale. Quando un log è scritto senza una "base" (l'indice dopo il log), una base di 10 è implicita. Questo è noto come "registro comune". La base di registro 10 di 10 è uguale a 1, perché 10 alla prima potenza è una. Una cosa utile da ricordare è "la risposta a un log è l'esponente". Un numero razionale è un numero che può essere espresso co
Sia un numero razionale diverso da zero e b sia un numero irrazionale. A-b è razionale o irrazionale?
Non appena includi un numero irrazionale in un calcolo, il valore è irrazionale. Non appena includi un numero irrazionale in un calcolo, il valore è irrazionale. Considera pi. il pi è irrazionale. Quindi 2pi, "" 6+ pi, "" 12-pi, "" pi / 4, "" pi ^ 2 "" sqrtpi ecc sono irrazionali.
La signora Fox ha chiesto alla sua classe la somma di 4,2 e radice quadrata di 2 razionale o irrazionale? Patrick ha risposto che la somma sarebbe stata irrazionale. Indicare se Patrick è corretto o errato. Giustifica il tuo ragionamento.
La somma 4.2 + sqrt2 è irrazionale; eredita la proprietà di espansione decimale mai ripetuta di sqrt 2. Un numero irrazionale è un numero che non può essere espresso come un rapporto di due numeri interi. Se un numero è irrazionale, la sua espansione decimale continua all'infinito senza uno schema e viceversa. Sappiamo già che sqrt 2 è irrazionale. La sua espansione decimale inizia: sqrt 2 = 1.414213562373095 ... Il numero 4.2 è razionale; può essere espresso come 42/10. Quando aggiungiamo 4.2 all'espansione decimale di sqrt 2, otteniamo: sqrt 2 + 4.2 = colore (bianco) +