Qual è la radice quadrata di 82?

Qual è la radice quadrata di 82?
Anonim

Risposta:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Spiegazione:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # per #n -> oo #

S è il numero di cui stai approssimando la radice sqaure. In questo caso # S = 82 #

Ecco cosa significa e come viene utilizzato:

Innanzitutto, immagina, quale potrebbe essere la radice quadrata di 82?

la radice quadrata di 81 è 9, quindi deve essere leggermente superiore a 9 giusto?

La nostra ipotesi sarà #x_ "0" #, diciamo 9.2, #x_ "0" = 9.2 #

Inserendo 9.2 come "x" nella formula ci darà #x_ "0 + 1" = x_ "1" #

Questo sarà il prossimo numero che inseriremo nell'equazione. Questo perché abbiamo iniziato con un'ipotesi di 9.2 = #x_ "0" #, questo ci ha dato un numero #x_ "1" #, inserendo questo numero ci darà #x_ "2" #, che ci darà #x_ "3" # e così via, sempre dandoci il prossimo numero quando inseriamo il precedente. Il lato destro dell'equazione indicato con "#->#"significa che quando" n "diventa sempre più grande, il numero si avvicina sempre di più alla radice quadrata di S, in questo caso 82.

Diciamo che abbiamo fatto lo stesso calcolo 100 volte! Allora avremmo #x_ "100" #. Questo numero sarebbe molto vicino alla radice quadrata di S.

Basta parlare, facciamo dei calcoli reali!

Iniziamo con la nostra ipotesi #x_ "0" = 9.2 #

#x_ "1" = 1/2 (9.2 + 82 / 9.2) ~~ 9.05652 #

Ora fai lo stesso con il nuovo numero: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

Facciamolo un'ultima volta: #x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~~ 9.0554 #

Questo significa # Sqrt82 ~~ 9,0554 #

E il gioco è fatto!

Scusa se tutto il mio parlare era fastidioso. Ho cercato di spiegarlo in modo approfondito e semplice, il che è sempre bello se non hai molta familiarità con un determinato campo della matematica. Non vedo perché alcune persone debbano essere così eleganti quando spiegano la matematica:)

Risposta:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) ~~ 9.0553851381374 #

Spiegazione:

La fattorizzazione principale di #82# è:

#82 = 2*41#

Poiché non ci sono fattori quadrati, #sqrt (82) # non può essere semplificato È un numero irrazionale un po 'più grande di #9#.

Tuttavia, nota questo #82=81+1 = 9^2+1#.

Dal momento che questo è della forma # N ^ 2 + 1 #, la radice quadrata ha una forma molto regolare come frazione continua:

#sqrt (82) = 9; bar (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …))))) #

Più generalmente:

#sqrt (n ^ 2 + 1) = n; bar (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …)))) #

Più in generale ancora:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …))))) #

In ogni caso, possiamo usare la frazione continua per ottenere approssimazioni razionali #sqrt (82) # troncando.

Per esempio:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9.0bar (5) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9,05bar (538461) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~~ 9.05538513974 #

Una calcolatrice mi dice che:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

In questo modo puoi vedere che le nostre approssimazioni sono precise per un numero di cifre significativo rispetto al numero totale di cifre nel quoziente.