Cosa equivale a sqrt (3 + i) in una forma + bi?

Risposta:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

supporre # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Quindi equiparando parti reali e immaginarie otteniamo:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Quindi #b = 1 / (2a) #, che possiamo sostituire nella prima equazione per ottenere:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Moltiplica entrambe le estremità di # 4a ^ 2 # ottenere:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Così:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Dalla formula quadratica otteniamo:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Da #sqrt (10)> 3 #, scegli il #+# firmare per ottenere valori reali per #un#:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

dove # B # ha lo stesso segno di #un# da #b = 1 / (2a) #

La radice quadrata principale è in Q1 con #a, b> 0 #

Questo è:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

In effetti, se # c, d> 0 # quindi possiamo mostrare allo stesso modo:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) io#