Come faccio a semplificare (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Risposta:

# cos ^ 5x #

Spiegazione:

Questo tipo di problema non è poi così male una volta riconosciuto che comporta un po 'di algebra!

Innanzitutto, riscrivo l'espressione data per facilitare la comprensione dei seguenti passaggi. Lo sappiamo # Peccato ^ 2x # è solo un modo più semplice di scrivere # (sin x) ^ 2 #. Allo stesso modo, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Ora possiamo riscrivere l'espressione originale.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Ora, ecco la parte che coinvolge l'algebra. Permettere #sin x = a #. Possiamo scrivere # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # come

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Questo sembra familiare? Dobbiamo solo tenerne conto! Questo è un perfetto trinomio quadrato. Da # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, possiamo dire

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Ora, torna alla situazione originale. Re-sostituto #sin x # per #un#.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (colore (blu) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Ora possiamo usare un'identità trigonometrica per semplificare i termini in blu. Riorganizzare l'identità # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, noi abbiamo #color (blu) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (colore (blu) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Una volta che abbiamo quadrato questo, i segni negativi si moltiplicano per diventare positivi.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = Cos ^ 5x #

Così, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.