Come si trova una funzione quadratica f (x) = ax² + bx + c dato il valore minimo -4 quando x = 3; uno zero è 6?

Risposta:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Le funzioni quadratiche sono simmetriche rispetto alla loro linea di vertice, cioè a x = 3, quindi questo implica che l'altro zero sarà in x = 0.

Sappiamo che il vertice si verifica in x = 3, quindi la prima derivata della funzione valutata in x = 3 sarà zero.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

Conosciamo anche il valore della funzione stessa in x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Abbiamo due equazioni ma tre incognite, quindi avremo bisogno di un'altra equazione. Guarda lo zero noto:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Abbiamo un sistema di equazioni ora:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4), (0)) #

Per leggere le soluzioni, vogliamo ridurre la nostra matrice di coefficienti alla forma a scaglione ridotto usando operazioni di riga elementari.

Moltiplica prima riga per #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Inserisci #-9# volte la prima riga della seconda riga:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Inserisci #-36# volte la prima fila al terzo:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Moltiplica seconda riga per #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Inserisci #-2/3# volte la terza fila per la seconda fila:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Inserisci #-1/6# volte il secondo al primo

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Questa serie di operazioni per il vettore della soluzione offre:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Quindi leggendo le soluzioni che abbiamo # a = 4/9 eb = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Grafico {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7.205, 12.795, -5.2, 4.8}