Come trovi sin (x / 2), cos (x / 2) e tan (x / 2) dal dato cot (x) = 13?

Risposta:

Ci sono in realtà quattro valori per # X / 2 # sul cerchio unitario, quindi quattro valori per ogni funzione trigonometrica. Il valore principale del mezzo angolo è intorno # 2.2 ^ circ. #

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Si prega di vedere la spiegazione per gli altri.

Spiegazione:

Parliamo della risposta un po 'prima. Ci sono due angoli sul cerchio unitario di cui è cotangente #13#. Uno è in giro # 4.4 ^ circ #e un altro è questo # 180 ^ circ #, chiamalo # 184,4 ^ circ #. Ognuno di questi ha due semitoni, nuovamente separati da # 180 ^ circ. # Il primo ha i mezzi angoli # 2.2 ^ circ # e # 182.2 ^ circ #, il secondo ha mezzo angolo # 92.2 ^ circ # e # 272,2 ^ circ #Quindi ci sono davvero quattro semitoni in questione, con valori diversi ma correlati per le loro funzioni trigonometriche.

Useremo gli angoli sopra indicati come approssimazioni, quindi abbiamo nomi per loro.

Angoli con cotangente di 13:

#text {Arc} text {cot} 13 approx 4.4 ^ circ #

# 180 ^ circ + testo {arco} testo {cot} 13 circa 184,4 ^ circ #

Mezze angolazioni:

# 1/2 text {Arc} text {cot} 13 approx 2.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + testo {arco} testo {cot} 13) circa 182,2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + testo {arco} testo {cot} 13) circa 92,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + testo {arco} testo {cot} 13) circa 272,2 ^ circ #

OK, le formule a doppio angolo per il coseno sono:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

quindi le formule di mezzo angolo pertinenti sono

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Questo è tutto preliminare. Facciamo il problema

Prima faremo il piccolo angolo, # 2.2 ^ circ. # Vediamo il resto di loro sono solo multipli di # 90 ^ circ # al di sopra di questo, quindi possiamo ottenere le loro funzioni trigonometriche da questa prima angolazione.

Una cotangente di 13 è una pendenza di #1/13# quindi corrisponde a un triangolo rettangolo con opposto #1#, adiacente #13# e ipotenusa #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (testo {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (text {Arc} text {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Ora applichiamo le formule a mezzo angolo. Per il nostro angolo teeny nel primo quadrante, scegliamo i segni positivi.

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

Potremmo provare a semplificare e spostare le frazioni fuori dal radicale, ma lo lascerò qui.

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

Il mezzo angolo tangente è il quoziente di quelli, ma è più facile da usare

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

OK, questa è tutta la parte difficile, ma non dimentichiamo gli altri angoli.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Ora abbiamo gli angoli rimanenti, che scambiano i segni seno e coseno, invertendo i segni. Non ripeteremo le forme se non per la tangente.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92,2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Uff.

Risposta:

#color (indigo) (tan (x / 2) = 0.0384, sin (x / 2) = + -0.0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (cremisi) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #

Spiegazione:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #

# csc ^ 2x = 1 + cot ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #

Ma lo sapevo #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

quando #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #

quando #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #