Trova l'area della regione ombreggiata?

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Quando impariamo per la prima volta a trovare le aree per integrazione, prendiamo rettangoli rappresentativi in verticale.

I rettangoli hanno base # Dx # (un piccolo cambiamento in #X#) e altezze uguali al maggiore # Y # (quello sulla curva superiore) meno il minore # Y # valore (quello sulla curva inferiore). Quindi integriamo dal più piccolo #X# valore al massimo #X# valore.

Per questo nuovo problema, potremmo usare due intergrali di questo tipo (vedi la risposta di Jim S), ma è molto importante imparare a trasformare il nostro modo di pensare #90^@#.

Prenderemo rettangoli rappresentativi in modo orionario.

I rettangoli hanno altezza # Dy # (un piccolo cambiamento in # Y #) e basi uguali al maggiore #X# (quello sulla curva più a destra) meno il minore #X# valore (quello sulla curva più a sinistra). Quindi integriamo dal più piccolo # Y # valore al massimo # Y # valore.

Notare la dualità

# {:("vertical", iff, "horizontal"), (dx, iff, dy), ("upper", iff, "rightmost"), ("lower", iff, "leftmost"), (x, iff, y):} #

La frase "dal più piccolo #X# valore al massimo #X# valore. "indica che integriamo da sinistra a destra. (Nella direzione di aumentare #X# valori.)

La frase "dal più piccolo # Y # valore al massimo # Y # valore. "indica che integriamo bottom to top. (Nella direzione di aumentare # Y # valori.)

Ecco un'immagine della regione con un piccolo rettangolo indicato:

L'area è

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Risposta:

L'area della regione ombreggiata è # 1 m ^ 2 #

Spiegazione:

# X = 1 / y ^ 2 #

# Y ^ 2 = 1 / x #

# Y = sqrtx / x # (possiamo vedere dal grafico)

# Sqrtx / x = x # #<=># # X ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# X ^ 4 x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # X = 1 # (possiamo anche vedere dal grafico)

Uno dei molti modi in cui l'area della regione ombreggiata può essere espressa potrebbe essere l'area del triangolo # AhatOB = Ω # escludendo l'area cyan che chiamerò #color (ciano) (Ω_3) #

Permettere #Ω_1# essere l'area nera mostrata nel grafico e #color (verde) (Ω_2) # l'area verde mostrata nel grafico.

L'area del piccolo triangolo # ChatAD = # #color (verde) (Ω_2) # sarà:

• #color (verde) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# Sqrtx / x = 2 # #<=># # Sqrtx = 2x # #<=># # X = 4x ^ 2 #

#<=># # X = 1/4 #

L'area di #Ω_1# sarà:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Di conseguenza, l'area ombreggiata sarà

• #Ω_1## + Colore (verde) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1 m ^ 2 #