Risposta:
Iniziare con
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) #
Sostituiamo la secante con un coseno.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Ora prendiamo la derivata wrt x su ENTRAMBI I LATI!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
La derivata di una costante è zero e la derivata è lineare!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Ora usando la regola del prodotto solo per i primi due termini che otteniamo!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Prossimo molto, tanto divertimento con la regola della catena! Guarda l'ultimo termine!
(anche facendo le derivate x semplici)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / y y 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Eseguendo alcune di queste derivate, derivate xy e derivati cos (xy) si fa anche la regola del prodotto e la regola della catena ancora una volta nell'ultima parte dell'ultimo termine.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
Un po 'di Neaten e finire tutti i derivati
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Ora separato in termine con # Dx / dy # e senza
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Portare tutto senza # Dy / dx # da un lato e raccolta come termini dall'altro
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / coso 2 (xy)) dy / dx #
Dividete però per trovare # Dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
È stato molto lungo!
Spiegazione:
Sono andato con una spiegazione MOLTO lunga con un semplice esempio perché la differenziazione implicita può essere complicata e la regola della catena è molto molto molto importante.
È necessario utilizzare circa tre regole di calcolo BIG per risolvere questo e tre derivate di funzioni specifiche.
1) La linearità della derivata.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) La regola del prodotto.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) Di gran lunga, il concetto più importante nella differenziazione implicita è
la regola della catena. Per funzioni composte, funzioni di altre funzioni, #f (u (x)) # noi abbiamo, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Puoi andare avanti con questo
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, E ancora e ancora e ancora. Nota # Dx / dx = 1 #.
Esempio: se hai una funzione di una funzione #f (u) # dove # U # è una versione di #X#. vale a dire #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Qui #f (u) = sqrt (u) # e #U (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # richiamare # U = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Espressioni per tipi di funzioni specifici.
A) Come prendere la derivata delle funzioni di potenza, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Come prendere la derivata di # E ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- noioso eh?
C) Come prendere la derivata di # cos (x) # perché # sec (x) = 1 / { cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
La chiave per differenziare implicitamente è usare la regola della catena per prendere la derivata x di e la funzione di entrambi x e y, come un cerchio.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
