Come valuti l'integrale di int (dt) / (t-4) ^ 2 da 1 a 5?

Risposta:

Sostituto # x = t-4 #

La risposta è, se davvero ti viene chiesto di trovare l'integrale:

#-4/3#

Se cerchi l'area, non è così semplice però.

Spiegazione:

# Int_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

Impostato:

# T-4 = x #

Quindi il differenziale:

# (D (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# = Dt dx #

E i limiti:

# X_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# X_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Ora sostituisci questi tre valori trovati:

# Int_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1DX / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ ^ 1x -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) 1 ^ #

# - x ^ -1 _ (- 3) 1 ^ #

# - 1 / x _ (- 3) 1 ^ #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

NOTA: NON LEGGERE QUESTA SE NON SEI STATO INSERITO COME TROVARE L'AREA. Anche se questo dovrebbe effettivamente rappresentare l'area tra i due limiti e poiché è sempre positivo, avrebbe dovuto essere positivo. Tuttavia, questa funzione è non continuo a # X = 4 # quindi questo integrale non rappresenta l'area, se è quello che volevi. È un po 'più complicato.

Risposta:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Spiegazione:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Risposta:

A seconda di quanta integrazione hai imparato, la risposta "migliore" sarà: "l'integrale non è definito" (ancora) o "l'integrale diverge"

Spiegazione:

Quando proviamo a valutare # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, dovremmo controllare che l'integrando sia definito nell'intervallo su cui stiamo integrando.

# 1 / (x-4) ^ 2 # non è definito a #4#, così è non definito nell'intero intervallo #1,5#.

All'inizio dello studio del calcolo, definiamo l'integrale iniziando con

"Permettere # F # essere definito su intervallo # A, b #… '

Quindi, all'inizio del nostro studio, la risposta migliore è quella

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# non è definito (ancora?)

Più tardi estendiamo la definizione a quelli che vengono chiamati "integrali impropri"

Questi includono integrali su intervalli illimitati (# (- oo, b #, # A, oo) # e # (- oo, oo) #) e anche intervalli su cui l'integrando ha punti in cui non è definito.

Per (provare) per valutare # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, valutiamo i due integrali impropri # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Si noti che l'integrando non è ancora definito su questi chiuso intervalli.)

Il metodo è sostituire il punto in cui l'integrando non è definito da una variabile, quindi prendere un limite mentre quella variabile si avvicina al numero.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Cerchiamo prima l'integrale:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Alla ricerca del limite come # Brarr4 ^ - #, vediamo che il limite non esiste. (Come # Brarr4 ^ - #, il valore di # -1 / (B-4) # aumenta senza vincoli.)

Quindi l'integrale sopra #1,4# non esiste quindi l'integrale sopra #1,5# non esiste.

Diciamo che l'integrale diverge.

Nota

Alcuni direbbero: ora abbiamo un definizione dell'integrale, semplicemente non capita di essere un qualsiasi numero che soddisfi la definizione.