Come scegliere due numeri per i quali la somma delle loro radici quadrate è minima, sapendo che il prodotto dei due numeri è un?

Risposta:

# x = y = sqrt (a) #

Spiegazione:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "è minimo" #

# "Potremmo lavorare con il moltiplicatore di Lagrange L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Ottenimento dei rendimenti:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(dopo aver moltiplicato con x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMO" #

# "Ora dobbiamo ancora controllare x = 0" #

# "Questo è impossibile come x * y = 0 allora." #

# "Quindi abbiamo la soluzione unica" #

# x = y = sqrt (a) #

Risposta:

Proverò a illustrarti il metodo di soluzione riportato di seguito.

Spiegazione:

Cosa stiamo cercando?

Due numeri Diamo loro i nomi, #X# e # Y #.

Rileggi la domanda

Vogliamo rendere minima la somma delle radici quadrate.

Questo ci dice due cose

(1) entrambi i numeri sono non negativi (per evitare l'immaginario)

(2) Siamo interessati al valore di # Sqrtx + sqrty #

Rileggi la domanda

Ci viene anche detto che il prodotto di #X# e # Y # è #un#.

Chi sceglie #un#?

In generale, se un esercizio dice qualcosa #un# o # B # o # C #, prendiamo quelli come costanti dati da qualcun altro.

Quindi potremmo sentirci dire "il prodotto di #X# e # Y # è #11#'

o "il prodotto di #X# e # Y # è #124#'.

Dobbiamo risolvere tutto questo subito dicendo # Xy = a # per alcuni costante #un#.

Quindi, vogliamo fare # Sqrtx + sqrty # il più piccolo possibile mantenendo # Xy = a # per alcuni costante #un#.

Questo sembra un problema di ottimizzazione ed è uno. Quindi voglio una funzione di una variabile da minimizzare.

# Sqrtx + sqrty # ha due variabili, #X# e # Y #

# Xy = a # ha anche due variabili, #X# e # Y # (ricorda #un# è una costante)

Così #y = a / x #

Ora vogliamo ridurre al minimo:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Trova la derivata, poi il numero critico (s) e prova il numero critico (s). Finire di trovare # Y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

critico # # SQRTA

#f '(x) <0 # per #x <sqrta # e #f '(x)> 0 # per #x> sqrta #, così #f (SQRTA) # è un minimo

#x = sqrta # e #y = a / x = sqrta #

Risposta:

# 2 root (4) (a) #

Spiegazione:

Lo sappiamo per #x_i> 0 # noi abbiamo

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

poi

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # poi

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

ma # x_1x_2 = a # poi

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #