Qual è il numero intero più piccolo che quando diviso per 3, 5, 7 e 11 lascia rispettivamente il resto di 2, 4, 6 e 1?

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Questo problema è risolto come un'applicazione del cosiddetto Teorema dei residui cinesi (CRM)

Dato

# {(x equiv r_1 mod m_1), (x equiv r_2 mod m_2), (cdots "" cdots "" cdots), (x equiv r_n mod m_n):} #

e chiamando #m = m_1m_2 cdots m_n # con

#M_k = m / m_k EE t_k | t_k M_k equiv 1 mod m_k #

ora chiama #s_k = t_k M_k # noi abbiamo

#x = sum_ (k = 1) ^ n s_k r_k #

Nel nostro esempio

# r_1 = 2, r_2 = 4, r_3 = 6, r_4 = 1 #

# m_1 = 3, m_2 = 5, m_3 = 7, m_4 = 11 #

poi

# t_1 = 1, t_2 = 1, t_3 = 2, t_4 = 2 # e

#x = 3884 # è una soluzione.

NOTA

Con questo metodo possiamo trovare una soluzione ed eventualmente la più piccola. In questo caso #419# è la soluzione più piccola.

Il resto di un polinomio f (x) in x è rispettivamente 10 e 15 quando f (x) è diviso per (x-3) e (x-4). Per il resto quando f (x) è diviso per (x- 3) (- 4)?

5x-5 = 5 (x-1). Ricorda che il grado del resto poly. è sempre inferiore a quella del divisore poli. Pertanto, quando f (x) è diviso per un poli quadratico. (x-4) (x-3), il resto poly. deve essere lineare, per esempio (ax + b). Se q (x) è il quoziente poli. nella divisione sopra, quindi, abbiamo, f (x) = (x-4) (x-3) q (x) + (ax + b) ............ <1> . f (x), quando diviso per (x-3) lascia il resto 10, rArr f (3) = 10 .................... [perché, "il Teorema del resto] ". Quindi, per <1>, 10 = 3a + b .................................... <2 >. Allo stesso modo, f (4) = 15 e <

Qual è il più piccolo intero positivo, maggiore di 1, che quando diviso per 5 o 6 lascia un resto di 1?

31 Il minimo comune multiplo di 5 e 6 è 30, per avere un resto di 1 basta aggiungere 1 a 30: 31

Quando un polinomio è diviso per (x + 2), il resto è -19. Quando lo stesso polinomio è diviso per (x-1), il resto è 2, come si determina il resto quando il polinomio è diviso per (x + 2) (x-1)?

Sappiamo che f (1) = 2 e f (-2) = - 19 dal Teorema dei rimanenti ora troviamo il resto del polinomio f (x) quando diviso per (x-1) (x + 2) Il resto sarà di la forma Ax + B, perché è il resto dopo la divisione di un quadratico. Ora possiamo moltiplicare il divisore per il quoziente Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B Successivo, inserisci 1 e -2 per x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Risolvendo queste due equazioni, otteniamo A = 7 e B = -5 Remainder = Ax + B = 7x-5