Per favore aiutami in questo, come si fa?

Risposta:

#k = 3 #

Spiegazione:

Usando le proprietà degli esponenti # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # e # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, noi abbiamo

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

così #13!# è divisibile per # 24 ^ k # se e solo se #13!# è divisibile per # 2 ^ (3k) # ed è divisibile per # 3 ^ k #.

Possiamo dire il più grande potere di #2# da cui #13!# è divisibile se osserviamo i suoi fattori che sono divisibili per #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Poiché nessuno dei fattori dispari contribuisce a nessun fattore #2#, noi abbiamo

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

dove # M # è un numero intero non divisibile da #2#. In quanto tale, lo sappiamo #13!# è divisibile per # 2 ^ (3k) # se e solo se #2^10# è divisibile per # 2 ^ (3k) #, senso # 3k <= 10 #. Come #K# è un numero intero, questo significa #k <= 3 #.

Successivamente, possiamo esaminare quali fattori di #13!# sono divisibili per #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Come nessun altro fattore di #13!# contribuire con qualsiasi fattore di #3#, questo significa

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

dove # N # è un numero intero non divisibile da #3#. In quanto tale, lo sappiamo #3^5# è divisibile per # 3 ^ k #, senso #k <= 5 #.

Il numero intero non negativo più grande che soddisfa i vincoli #k <= 3 # e #k <= 5 # è #3#, dandoci la nostra risposta # K = 3 #.

Un calcolatore lo verificherà #(13!)/24^3 = 450450#, mentre #(13!)/24^4=18768.75#