Risolvilo usando l'integrale di riemann?

Risposta:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # o # approx 1.302054638 … #

Spiegazione:

L'identità più importante numero uno per risolvere qualsiasi tipo di problema con il prodotto infinito è convertirlo in un problema di somme infinite:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

EMPHASIS:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

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Ma, prima di poterlo fare, dobbiamo prima affrontare il # frac {1} {n ^ 2} nell'equazione e btw chiamiamo il prodotto infinito L:

# L = lim_ {n a + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n a + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n a + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n a + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Ora possiamo convertire questo in una somma infinita:

# L = lim_ {n a + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n a + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

applica le proprietà del logaritmo:

# L = lim_ {n a + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

E usando le proprietà limite:

# L = exp lim_ {n a + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

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Chiamiamo la somma infinita S:

# S = lim_ {n a + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

E tieni presente questo

# L = exp (S) #

Ora risolviamo la tua domanda convertendola da a RIEMANN SUM a a INTEGRALE DEFINITO:

Ricordiamo che la definizione di una somma di Riemann è:

EMPHASIS:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n a + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Permettere

# lim_ {n a + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Adesso molla # f (x) = ln (1 + x ^ 2) e a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Quindi, b = 1 cioè

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Perciò,

# S = lim_ {n a + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

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Risolvere per # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

utilizzare l'integrazione per parti:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Permettere # u = ln (1 + x ^ 2) e v = 1 #

Quindi, usa la regola della catena e la derivata del logaritmo naturale per ottenere # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

e usa la regola del potere per ottenere: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Usa la regola della sottrazione:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Usa la regola di potenza per il primo integrale e il secondo integrale è la funzione trigonometrica standard # arctan (x) # (l'inverso della funzione tangente)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Così, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

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Ora risolvi l'integrale definito:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

sappiamo che l'anti-derivato è # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Così

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

si noti che arctan (1) è 45 ° o # frac { pi} {4} # (richiama il triangolo speciale destro con le lunghezze laterali 1,1, # Sqrt {2} # e angoli 45 °, 45 °, 90 °) e anche # arctan (0) = 0 #

così #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

o # approx 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Quindi la soluzione è # lim_ {n a + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # o # approx 1.302054638 … #